перейти к полному списку дипломных проектов
Ссылка на скачивания файла в формате .doc находится в конце странички
2.2.1. ПОЛНОСТЬЮ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ
Этот алгоритм назван полностью целочисленным, потому что если исходная таблица состоит из целочисленных элементов, то все таблицы, получающиеся в процессе работы алгоритма, содержат только целочисленные элементы. Подобно двойственному симплекс-методу, алгоритм начинает работать с двойственно допустимой таблицы. Если ai0 (i = 1 ,…, n+m; ai0 – коэффициенты целевой функции) – неотрицательные целые, то задача решена. Если для какой-нибудь строки ai0<0, то составляется новое уравнение и записывается внизу таблицы. После этого используется двойственный симплекс-метод. Все элементы дополнительной строки должны быть целыми числами, а ведущий элемент равен –1. Введенная таким образом ведущая строка сохранит таблицу целочисленной.
Пусть задана задача целочисленного линейного программирования:
максимизировать
при условиях
Условия (12) могут быть записаны как
Предположим, что для t=0 (т.е. для исходной таблицы) все aij – целые и столбцы (j = 1 ,…, n) – лексикографически положительны. Тогда все столбцы на протяжении вычислений остаются лексикографически положительными.
Прежде чем изложить способ получения дополнительного ограничения из производящей строки, введем новое представление чисел. Пусть [x] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее x. Для любого числа y (положительного или отрицательного) и положительного можно записать:
где (ry – неотрицательный остаток от деления нацело y на ). В частности, . Поэтому если , то и r = 1. Если , то и r = 0.
Вводимое дополнительное неравенство должно выполняться при любом целом решении задачи (12). Рассмотрим некоторое уравнение в t – таблице (опуская индекс строки) с a0<0:
где x – соответствующая компонента вектора , а - текущие небазисные переменные. Можно выразить x, a0 и aj, используя введенное выше представление (14):
Подставив выражения (16) и (17) в (15) и переставив члены, получим:
Поскольку , и на переменные x и наложено требование неотрицательности, левая часть уравнения (18) всегда неотрицательна. Рассмотрим выражение в правой части, заключенное в фигурные скобки. Коэффициенты в этом выражении представляют собой целые числа, а переменные подчинены требованию целочисленности. Поэтому все выражение в скобках должно быть целым. Обозначим его через s, т.е.:
.
Целочисленная слабая переменная s является неотрицательной. Действительно, если бы s было отрицательным, т.е. принимало бы значения -1, -2, …, то умножение на сделало бы всю правую часть уравнения (18) отрицательной, в то время как левая часть неотрицательна.
Рассмотрим два случая и . Для и . Подставляя в уравнение (19) выражение для x из (15), получим:
Полученное уравнение есть не что иное как отсечение Гомори. Для имеем и уравнение (19) приобретает вид:
Уравнение (21) должно выполняться для любого целочисленного решения задачи (12). Заметим, что если a0<0, то в уравнении (21). Потому уравнение (21) может использоваться в качестве ведущей строки в симплекс-методе. В частности, всегда можно выбрать достаточно большим, так чтобы ведущий элемент в строке (21) стал равным –1, что позволит сохранить целочисленность таблицы. Выбор соответствующего будет влиять на скорость сходимости алгоритма. Прежде всего опишем сам алгоритм. В качестве начального необходимо взять двойственно допустимое решение, которое можно получить добавлением ограничения xn+m+1=M – x1 - - … - xn 0, где M – достаточно большая константа, и проведением одной итерации с добавленной строкой и с лексикографически минимальным столбцом, взятыми в качестве ведущих. Алгоритм состоит из следующих шагов:
Шаг 0. Начать с двойственно допустимой матрицы A0 в уравнении (13), элементы которой – целые числа (матрица A0 может содержать и нецелые элементы, об этом см. [2], стр. 306).
Шаг 1. Среди строк с ai0<0 (i=1, …, n+m) выбрать строку с наименьшим значением i; эта строка станет производящей. (Если ai00 (i=1, …, n+m), то задача решена.)
Шаг 2. Выбрать (правило выбора будет описано дальше) и написать внизу таблицы дополнительную строку
Эта строка выбирается в качестве ведущей.
Шаг 3. Провести шаг двойственного симплекс-метода, вычеркнуть дополнительную строку и вернуться к шагу 1.
Доказательство конечности алгоритма см. [2], стр. 303-304.
Правило выбора формулируется следующим образом.
Шаг 0. Пусть строка с номером v является производящей.
Шаг 1. Пусть - лексикографически минимальный столбец среди столбцов с avj<0.
Шаг 2. Для каждого avj<0 пусть - наибольшее целое, такое, что (лексикографически меньше).
Шаг 3. Пусть , а (строка v - производящая). Тогда
.
Шаг 4. Положить для avj<0.
Правило выбора , описанное выше, позволяет сделать ведущий элемент равным –1, при этом сохраняется двойственная допустимость таблицы и в то же время нулевой столбец будет максимально лексикографически уменьшаться.
Подробнее об алгоритме можно прочитать в [2], стр. 300.
скачать бесплатно Описание технологической области
Содержание дипломной работы
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1.1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ СОСТАВЛЕНИЯ РАСПИСАНИЯ
1.1.1. ОБЩАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ СОСТАВЛЕНИЯ РАСПИСАНИЙ
1.1.2. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ СОСТАВЛЕНИЯ РАПИСАНИЯ В ПРИМЕНЕНИИ К РАСПИСАНИЮ УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ.
1.2. АНАЛИЗ СУЩЕСТВУЮЩЕГО ПО
1.3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
2.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПИСАНИЯ В ВУЗЕ
2.1.1. ОБОЗНАЧЕНИЯ
ПРЕПОДАВАТЕЛИ
2.1.2. ПЕРЕМЕННЫЕ
2.1.3. ОГРАНИЧЕНИЯ
2.1.4. ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ
2.2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
2.2.1. ПОЛНОСТЬЮ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ
2.2.2 ПРЯМОЙ АЛГОРИТМ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
2.2.3. ТЕХНИКА ПОЛУЧЕНИЯ НАЧАЛЬНОГО ДОПУСТИМОГО БАЗИСА
2.3. ОСОБЕННОСТИ ПРАКТИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗАЦИИ СИСТЕМЫ
2.3.1. ВЫБОР МОДЕЛИ
ИЕРАРХИЧЕСКИЙ СПОСОБ ОРГАНИЗАЦИИ
СЕТЕВОЙ СПОСОБ ОРГАНИЗАЦИИ
РЕЛЯЦИОННЫЙ СПОСОБ ОРГАНИЗАЦИИ
2.3.2. ОПИСАНИЕ ВХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ
2.3.3. РАЗРАБОТКА ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЗАДАЧИ
2.3.4. ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ОГРАНИЧЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАДАЧИ СОСТАВЛЕНИЯ РАСПИСАНИЯ
2.4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ ПРОГРАММЫ
2.5. АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
ВЫВОДЫ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ВОЗМОЖНОСТИ ПРОГРАММНЫХ ПРОДУКТОВ СИСТЕМ СОСТАВЛЕНИЯ РАСПИСАНИЙ.
3. Система “Методист”
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ЛИСТИНГ ПРОГРАММНОГО МОДУЛЯ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ АВТОМАТИЧЕСКОГО СОСТАВЛЕНИЯ РАСПИСАНИЯ
